Традиционно считается, что родоначальниками геометрии как систематической науки были древние греки, которые переняли египетское искусство изучения и измерения объемов тел и превратили его в строгую научную дисциплину. Поэтому древние геометры перешли от серии рецептов к установлению общих законов и провели первые систематические и доказательные исследования геометрии. Центральное место в них занимает Евклидова теория примитивов, составленная около 300 года до н. э. Более двух тысячелетий эта работа считалась образцом изложения духа аксиоматического метода. Все утверждения логически выводятся из небольшого числа явно выраженных, недоказуемых предположений, т. е. аксиом.
Греческая геометрия, которую сегодня называют евклидовой или элементарной, занималась изучением простейших форм: линий, плоскостей, отрезков, правильных многоугольников и многогранников, конических кривых, а также сфер, колонн, призм, пирамид и конусов. Были рассчитаны их площади и объемы. Преобразования в основном ограничивались сходством.
Средние века не оказали большого влияния на геометрию, и следующим крупным событием в ее истории стало открытие метода координат Декартом в XVII веке («Рассуждение о методе», 1637). Так возникла аналитическая геометрия, которая изучала формы и преобразования, задаваемые координатам алгебраическими уравнениями. Примерно в то же время Паскаль и Дезарг начали изучать свойства плоских фигур, которые остаются неизменными при проецировании с одной плоскости на другую. Этот раздел был назван проективной геометрией. Метод координат является основой для несколько более поздней дифференциальной геометрии.
Геометрия — одна из древнейших математических наук. Первые геометрические тексты встречаются в вавилонской клинописи и египетских папирусах (3-е тысячелетие до н. э.).
Уже в античности геометрия превратилась в индуктивную и строго логическую науку, основанную на системе аксиом. Она постоянно развивалась и дополнялась новыми теоремами, идеями и методами. Интересы геометров и направление их научных исследований время от времени менялись в ходе исторического развития этой науки. Поэтому нелегко дать точное и исчерпывающее определение современной геометрии, ее объектов, содержания и методов.
Евклид.
В третьем веке до нашей эры древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Элементы». В этой книге Евклид попытался обобщить накопленные к тому времени геометрические знания и дать полную аксиоматическую формулировку этой науки. Она была настолько хорошо написана, что в течение 2000 лет геометрия преподавалась повсеместно через переводы или незначительные изменения книги Евклида. Продуманное и глубоко логичное изложение геометрии в книге Евклида привело к тому, что математики не могли придумать никакой другой геометрии, кроме геометрии Евклида. Только в 19 веке, в основном благодаря работе выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского, было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Часто идеи обогатить математику новыми понятиями и методами приходят из области физики, химии и других естественных наук. Типичным примером является понятие векторов, которое пришло в математику из механики. Для неевклидовой геометрии верно прямо противоположное. Эти новые геометрические понятия, созданные в контексте математики, заложили основы современной физики.
Со времен Евклида в самой геометрии произошло много изменений. В XVII веке благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта появился метод координат, который ознаменовал собой инновационную реорганизацию всей математики, особенно геометрии. Алгебраические уравнения (или неравенства) можно было интерпретировать в виде геометрических изображений (графиков). Напротив, поиск решений геометрических задач аналитического типа, систем уравнений. Таким образом, в контексте евклидовой геометрии возникла новая отрасль — аналитическая геометрия. Работы математиков XIX века У. Гамильтона и Г. Грасса. Гамильтон, Грумман и другие ранее ввели векторы в работу Архимеда. Галилей и другие были механическими, но теперь заслужили право на математику. Еще одним важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку, было создание теории геометрических преобразований, в частности, теории движения (перемещения). У Евклида движение было неявным. Например, когда он говорил «наложим треугольник на другой таким образом», это было на самом деле осуществление движения, движения треугольника.
Пифагорова тройка
Пифагорейская тройка из трех натуральных чисел (x, y, z) удовлетворяет пифагорейскому соотношению: x 2 +y 2 = z 2. Числа, образующие пифагорейскую тройку, называются пифагорейскими числами. Треугольник, длины сторон которого равны пифагорейским числам, является прямоугольным треугольником. Простейшим является египетский треугольник со сторонами 3,4,5: 3 2 +4 2 = 5 2.
Некоторые пифагорейские треугольники: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50), … Пифагорейский треугольник известен давно. Древняя месопотамская архитектура надгробий включает в себя треугольник Исохель, состоящий из двух прямоугольников со сторонами 9, 12 и 15 вершин. Пирамида фараона Снефероса (XXVII век) построена из треугольников со сторонами 20, 21, 29, 18, 30, 30, 24 и 30 в египетских лесах.
Неевклидова геометрия
В геометрии Евклида есть аксиома для прямоугольников. В нем говорится, что От точки, не лежащей на определенной прямой, к точке, параллельной определенной прямой. Многие геометры пытались доказать это положение на основе других фундаментальных условий геометрии Евклида, но безуспешно. Лобачевский пришел к выводу, что такое доказательство невозможно. Заявление об обратном из офиса Эвклида гласило Можно построить как минимум две прямые параллели, если не одну, через точки, не лежащие на определенной прямой. Это вклад Лобачевского. По мнению Лобачевского, добавление этого утверждения к другим основным утверждениям геометрии приводит к достаточно полным выводам. Система этих выводов — новая евклидова геометрия. Квалификация Лобачевского заключается в том, что он не просто выразил идею, но фактически создал и полностью разработал новую геометрию, которая, несмотря на свои противоречия с традиционными визуальными концепциями, является такой же полной и богатой выводами, как геометрия Евклида. Геометрия раздвоилась и быстро развивалась в разных направлениях, с различными пространствами (Евклидово, Лобачевского, Авансова, Лиманского и т. д.) и серией математических теорий, изучающих геометрию этих пространств.
