Родоначальниками геометрии как систематической науки традиционно считаются древние греки, которые переняли египетскую технику съемки и измерения объемов тел и превратили ее в строгую научную дисциплину. Таким образом, древние геометры перешли от серии рецептов к установлению общих законов и провели первые систематические и доказательные исследования геометрии. Центральное место в них занимает оригинальный трактат Евклида, составленный около 300 года до нашей эры. Элементы Евклида». Более 2000 лет эта работа считалась образцовым изложением в духе аксиоматического метода. Все утверждения логически выводятся из небольшого числа явно выраженных недоказуемых предположений, или аксиом.
Греческая геометрия, которую сегодня называют евклидовой или фундаментальной, касалась изучения простейших форм: линий, плоскостей, отрезков прямых, правильных многоугольников и многогранников, конических кривых, сфер, колонн, призм, конусов и конусов. Были рассчитаны их площади и объемы. Преобразования в основном ограничивались сходством.
Средние века оказали незначительное влияние на геометрию, и следующим важным событием в ее истории стало открытие Декарта метода координат в XVII веке («Рассуждение о методе», 1637). Так возникла аналитическая геометрия, изучение форм и преобразований, задаваемых координатам алгебраическими уравнениями. Примерно в то же время Паскаль и Дезарг начали изучать свойства плоских фигур, которые остаются неизменными при проецировании с одной плоскости на другую. Этот раздел был назван проективной геометрией. Метод координат является основой для несколько более поздней дифференциальной геометрии.
Геометрия — одна из древнейших математических наук. Первые геометрические тексты встречаются в вавилонской клинописи и египетских папирусах (3-е тысячелетие до н. э.).
Уже в античности геометрия превратилась в индуктивную и строго логическую науку, основанную на системе аксиом. Она постоянно развивалась и дополнялась новыми теоремами, идеями и методами. Интересы геометров и направление научных исследований время от времени менялись в ходе исторического развития этой науки. Поэтому нелегко точно и исчерпывающе определить, что такое геометрия сегодня, каковы ее цели, содержание и методы.
Евклид.
В третьем веке до нашей эры древнегреческий ученый Евклид написал книгу под названием «Элементы». В этой книге Евклид обобщил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать полную аксиоматическую формулировку этой науки. В течение 2000 лет геометрия была настолько хорошо написана, что ее преподавание повсеместно велось по переводам или незначительным редакциям книги Евклида. Продуманное и глубоко логичное изложение геометрии в книге Евклида привело к тому, что математики не могли придумать никакой другой возможной геометрии, кроме геометрии Евклида. Только в 19 веке, в основном благодаря работе выдающегося русского математика Н. И. Лобачевского, было установлено, что евклидова геометрия не является единственно возможной. Часто идеи обогатить математику новыми понятиями и методами приходят из физики, химии и других областей естествознания. Типичным примером является понятие векторов, которое в математике заимствовано из механики. В случае неевклидовой геометрии действует прямо противоположное. Эти новые геометрические концепции, созданные в контексте математики, заложили основы современной физики.
Со времен Евклида многое изменилось в самой евклидовой геометрии. В XVII веке благодаря работам французского математика и философа Р. Декарта возникла система координат и, в частности, произошла революционная перестройка всей математики и геометрии. Появилась возможность интерпретировать алгебраические уравнения (или неравенства) в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решения геометрических задач через аналитические формулы, одновременные уравнения. Таким образом, в контексте евклидовой геометрии возникла новая ее ветвь — аналитическая геометрия. Работа математиков 19 века У. Гамильтона и Х. Гласса. Гамильтон, Глассман и другие ввели векторы, которые ранее имели только механическое значение в работах Архимеда, Галилея и других, но теперь приобрели математические права. Другим важным обогащением, которым геометрия обязана XIX веку, было создание теории геометрических преобразований, в частности, теории движения (перемещения). У Евклида движение было неявным. Например, когда он говорил «давайте нажмем треугольник на другой треугольник таким образом», он на самом деле двигал и применял движение треугольника.
Пифагорова тройка
Пифагорейская тройка из трех натуральных чисел (x, y,z) удовлетворяет пифагорейскому соотношению x 2 +y 2 =z 2. Числа, составляющие пифагорейские числа, называются пифагорейскими числами. Треугольник с длиной стороны, равной пифагорейскому числу, является правильным треугольником. Простейшим является египетский треугольник со сторонами 3, 4 и 5: 3 2 +4 2 =5 2 .
Некоторые пифагорейские треугольники: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), (14 , 48, 50), (30, 40, 50), … Пифагорейский треугольник известен с древних времен. В древней месопотамской надгробной архитектуре были найдены равнобедренные треугольники, состоящие из двух прямоугольников со сторонами 9, 12 и 15 локтей. Пирамида фараона Снефероса (27 век до н. э.) сделана из треугольников со сторонами 20, 21, 29 и 18, 24, 30 египетских локтей.
Неевклидова геометрия
Геометрия Евклида содержит аксиому о параллелограммах, которая гласит, что Прямая, параллельная данной прямой, не может проходить через точку, которая не лежит на данной прямой. Многие геометры безуспешно пытались доказать эту аксиому на основе других фундаментальных предположений евклидовой геометрии. Лобачевский пришел к выводу, что такое доказательство невозможно. Утверждение, противоречащее аксиоме Евклида, гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести не одну, а по крайней мере две прямые, параллельные этой точке. Это аксиома Лобачевского. По мнению Лобачевского, добавление этого утверждения к другим основным утверждениям геометрии приводит к логически полным выводам. Эти системы выводов представляют собой новую неевклидову геометрию. Заслуга Лобачевского в том, что он не просто высказал идею, а фактически построил и полностью развил новую геометрию, которая по логической завершенности и богатству выводов не уступает евклидовой геометрии, несмотря на ее противоречия с традиционными оптическими представлениями. Геометрия быстро развивалась, разветвляясь в разных направлениях на ряд математических теорий, изучающих различные пространства (евклидово, Лобачевского, проективное, риманово и т. д.) и геометрию этих пространств.
