Нам снится, что в 1819 году знаменитый французский математик Лаплас установил посреди Сибири гигантскую светящуюся фигуру, символизирующую теорему Пифагора. Тем временем новый администратор Михаил Магнитский прибывает в Казанский университет, чтобы установить контакт с внеземной жизнью. Он обвиняет профессоров и преподавателей в либерализме и атеизме и предлагает Александру I торжественно снести здание, в котором размещался порок.
Царь отказался, университет был вновь открыт, а новым ректором стал Григорий Никольский. 35-летний профессиональный математик, он называл своих студентов «линейками» и любил повторять, что «косая сторона прямоугольного треугольника — это символ». Встреча истины и мира, справедливости и любви через посредничество Бога и человека…». Тогда в голове 28-летнего Лобачевского, всю жизнь проработавшего в Казанском университете, роились смутные идеи. С пятым каноном Евклида что-то не так. Но сначала по очереди.
Первоначально это был офис.
Около 2000 лет назад жил великий древнегреческий математик Евклид, прямой потомок Лобачевского. Она начиналась с семи определений и пяти аксиом (недоказуемых и интуитивно принимаемых утверждений), на основе которых строились все последующие теоремы и постулаты.
Первые четыре аксиомы были краткими и строгими.
- Из каждой точки в каждую точку можно провести прямую.
- Ограниченные линии могут быть продолжены последовательно по прямой линии.
- Окружность можно начертить из любого центра любого радиуса.
- Все прямые углы равны между собой.
Возможно, никто в истории мира не оспаривал их истинность, но пятый канон звучал гораздо более запутанно и казался почти бесспорной истиной.
- Если две пересекающиеся прямые образуют внутренний односторонний угол, меньший двух прямых, то, продолжая до бесконечности, эти две прямые пересекаются на той стороне, где угол меньше двух прямых.
С тех пор десятки математиков пытались доказать это утверждение в различных формулировках (самая распространенная из них гласит, что на плоскости только одна прямая, параллельная данной прямой, может проходить через точку, не лежащую на данной прямой). Та же история. Их доказательства, казалось, откусили себе хвосты, и их было совершенно невозможно доказать без самого пятого канона. Они больше походили на картины Эшера, чем на строгие математические структуры.
Лобачевского больше беспокоил их философский груз, чем пятый канон. То есть, пятый канон помещал материю в некое застывшее абсолютное пространство, независимое от самой материи, в систему координат, которая существовала для всей Вселенной вечно. Лобачевскому это не нравилось: он считал, что геометрия и реальность взаимосвязаны, и писал в своем дневнике, что Наш разум искусственно включен в природу движения — поэтому пространство само по себе не существует для нас, само по себе. Поэтому, если допустить, что некоторые силы природы следуют за одной, это не создает противоречия в нашем сознании. Другие следуют своей собственной геометрии».
Будучи упрямым материалистом, он не мог принять как данность, что параллельные прямые не пересекаются где-то в бесконечном пространстве. Да, Лобачевский сам провел несколько геодезических измерений на местности и подтвердил, что сумма углов треугольника всегда равна 180 (это еще одна эквивалентная формулировка пятого принципа Евклида), но он не мог обещать, что это будет справедливо для всех треугольников в нашем бесконечном пространстве.
Горизонтальные задачи
Часто бывает очень трудно доказать, что что-то неправильно или не работает, не только в математике, но и в науке в целом. То же самое произошло и с пятым каноном Евклида. Люди не могли доказать, что она верна, но опровергнуть ее было еще труднее, особенно учитывая связность всего лабиринта геометрических теорем Евклида.
Поэтому в своей борьбе с пятым каноном Лобачевский обратился к противоположным доказательствам. Чтобы посмотреть, что происходит дальше во всей системе геометрических теорем, он попытался заменить пятую аксиому ее зеркальным отображением, которое находится на том же уровне и не пересекается»). Может быть, возникает внутреннее противоречие, косвенно указывающее на то, что первоначальная версия пятой аксиомы (весьма схематичная и противоречивая) все же неизбежно истинна в нашем пространстве? Но этого не произошло — противоречия не было обнаружено.
Поэтому Лобачевский принял первые четыре аксиомы Евклида, добавил новую пятую аксиому и начал строить на их основе новую последовательную геометрию, которая описывала реальный мир с большей точностью и глубиной, чем геометрия Евклида.
Лобачевский даже хотел проверить геометрию в космосе, измерить сумму углов треугольника, составленного из звезд, и посмотреть, равны ли они 180 градусам, но все его эксперименты провалились. Вкрались неточности и огромные ошибки, и Лобачевский сам потерпел крах. Он преподавал математику, а также физику и астрономию в своем родном университете. Ректор Никольский хотел охладить свой пыл. Он сделал математиков членами строительного комитета университета (очевидно, Магнитский, воровавший на строительстве, хотел, чтобы всю вину взяли на себя ленивые, быстро растущие математики, но этот план провалился).
Хотя времени для чистой науки оставалось мало, Лобачевский продолжал углубляться в геометрию — формулировал новые теоремы, строил доказательства и, наконец, 7 февраля 1826 года (по старому стилю) представил в Ученый комитет Казанского университета свою работу — «Начертание геометрии строгим доказательством теоремы параллельных».
Новая геометрия — старые проблемы
Жизнь великой идеи кажется более простой в ретроспективе, чем она есть на самом деле. Да, вокруг есть упрямые люди, и недоверие и нерешительность в раскачивании лодки присутствуют везде, но даже с этими досадными исправлениями траектория великой идеи в худшем случае подобна упругой, сжатой спирали, высвобождающей вязкую повседневность на свет. Правда. На самом деле, это как висящая кривая — доклад Лобачевского от 7 февраля провалился.
Мы не знаем, какой формы был стол в комнате, где проходила выставка — он мог быть прямоугольным, круглым или овальным — мы не знаем, какими были окна, стены и двери, но мы определенно понимаем одно: идея всех присутствующих в то время заключалась в том, что он был идеально вертикальным на неевклидовой геометрической траектории. . Незадолго до этого новый царь Николай I уволил Магнитского, и все члены Комиссии гадали, как эта внезапная миграция из-за границы изменит их жизнь. Французский язык о геометрии пришельцев.
Броуновское движение наночастиц в воде.
Затем рукопись была передана на рассмотрение некоторым членам комитета, но в хаосе унылых дней, видимо, о ней просто забыли, а сам отчет не был утвержден к публикации. Впоследствии, если бы не произошло нечто неожиданное, вся геометрия Лобачевского могла бы навсегда остаться в его сознании. Вскоре он был избран новым ректором университета.
Позже работы Лобачевского стало меньше, и вряд ли его сила возросла, но постепенно он оформил свои идеи в законченный труд «Об элементах геометрии». Приговор был вынесен Михаилу Остроградскому, одному из самых влиятельных российских математиков того времени.
Автор явно хотел писать непонятно. Он преуспел в этой цели — большая часть книги осталась для меня неизвестной, как будто я ее никогда не видел…». . — его ответ. Новая геометрия остается непонятной. Блуждания продолжаются.
Круги на воде.
Через несколько лет Лобачевский пришел к лучшему пониманию. Он опубликовал свои работы в европейских журналах, и его заметил великий немец Гаусс, который в течение нескольких лет тайно изучал неевклидову геометрию. Чтобы лучше понять казанского ученого, он быстро выучил русский язык и, впечатленный смелостью и ясностью идей Лобачевского, предложил его в члены-корреспонденты Королевского научного общества в Геттингене.
На родине Острогринский и его окружение неоднократно отвергали любые работы по неевклидовой геометрии вплоть до смерти Лобачевского в 1856 году, но его талант был признан.
Через 12-15 лет математики находят достаточные модели вещественных чисел, в которых геометрия Лобачевского работает. В простейшей из этих проекций внутренняя часть круга принимается за плоскость, а его струны — за прямые линии. Результатом является тот очевидный факт, что любое количество струн, не пересекающих фиксированную струну a через точку P внутри круга, автоматически становятся экземплярами пятого принципа геометрии Лобачевского по правилам игры.
В 1868 году была опубликована работа другого пионера неевклидовой геометрии, Римана, и математики постепенно признали, что риманова геометрия и геометрия Лобачевского — невероятно похожие процедуры. Прямо в обычной евклидовой геометрии. Первый работает на поверхностях с положительной кривизной, таких как сферы и геоиды (меридианы, параллельные экватору, находятся на полюсах), второй — на поверхностях с отрицательной кривизной, таких как гиперболические поверхности и седла.
Немного позже, в начале 20-го века, новая геометрия наконец-то встретилась с физикой. Эйнштейн сформулировал теорию общей относительности в терминах римановой геометрии, и умы людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным путям, открыли новые пути. Пространство и время не являются абсолютными. Движение изменяет геометрию. Аксиомы тысячелетия не всегда верны.
